Saturday 16 March 2013

SATURDAY, 16 MARCH 2013

Today is the $75^{th}$ day of the year.

$75 = 3 \times 5^2$

According to A036378 there are $75$ primes between $2^9 = 512$ and $2^{10} = 1024$
 The $75$ primes are:
________ ________ ________
$1)  521$$2)  523$$3)  541$
$4)  547$$5)  557$$6)  563$
$7)  569$$8)  571$$9)  577$
$10)  587$$11)  593$$12)  599$
$13)  601$$14)  607$$15)  613$
$16)  617$$17)  619$$18)  631$
$19)  641$$20)  643$$21)  647$
$22)  653$$23)  659$$24)  661$
$25)  673$$26)  677$$27)  683$
$28)  691$$29)  701$$30)  709$
$31)  719$$32)  727$$33)  733$
$34)  739$$35)  743$$36)  751$
$37)  757$$38)  761$$39)  769$
$40)  773$$41)  787$$42)  797$
$43)  809$$44)  811$$45)  821$
$46)  823$$47)  827$$48)  829$
$49)  839$$50)  853$$51)  857$
$52)  859$$53)  863$$54)  877$
$55)  881$$56)  883$$57)  887$
$58)  907$$59)  911$$60)  919$
$61)  929$$62)  937$$63)  941$
$64)  947$$65)  953$$66)  967$
$67)  971$$68)  977$$69)  983$
$70)  991$$71)  997$$72)  1009$
$73)  1013$$74)  1019$$75)  1021$

Consider writing down a sequence using the following rules
1) Write down the first odd non-negative integer, $1$
2) Write down the next two even numbers, $2, 4$
3) Write down the next three odd numbers, $5, 7, 9$
4) Write down the next four even numbers $10, 12, 14, 16$
5) Write down the next five odd numbers $17, 19, 21, 23, 25$
6) Well, you get the idea.

The first $47$ members of this sequence looks like this:
$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81$

As you can see $75$ is the $42^{nd}$ member, of what is known as the Connell Sequence, see A001614.

The formula for this sequence is
$a(n) = 2n - \lfloor \frac {1 + \sqrt {8n - 7} } {2} \rfloor $ where $\lfloor \rfloor$ indicates the floor function.

Thus we can calculate the $75^{th}$ member of this function:
$a(75) = (2 \times 75) - \lfloor \frac {1 + \sqrt {(8 \times 75) - 7} } {2} \rfloor $

$a(75) = 150 - \lfloor \frac {1 + \sqrt {600 - 7} } {2} \rfloor $

$a(75) = 150 - \lfloor \frac {1 + \sqrt {593} } {2} \rfloor $

$a(75) = 150 - \lfloor \frac {1 + 24.35159 } {2} \rfloor $

$a(75) = 150 - \lfloor \frac {25.35159 } {2} \rfloor $

$a(75) = 150 - \lfloor 12.67579 \rfloor$

$a(75) = 150 - 12$

$\underline {\underline {a(75) = 138}}$


As an aside note that the number at the end of each sub-sequence above is the square of the index of the sub-sequence, i.e the $5^{th}$ sub-sequence ends in $25$.

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